진실과 거짓을 정확하게 판별해 주는 수학 공식

 

 

 

 

우리는 살면서 수많은 정보를 받아들입니다. 그런데 문제는 진실은 참과 거짓 반드시 둘 중의 하나인데, 참과 거짓을 판정하기 위해 자료를 수집하면 할수록 더 미궁에 빠지는 경우가 많다는 것입니다. 왜냐면, 어떤 자료는 참을 지지하고, 어떤 자료는 거짓을 지지하고..

그래서 좀 더 정확하게 확인하기 위해 더 많은 자료를 확인하면 100% 만장일치로 참과 거짓을 지지하지 않은 한 그 증거가 가리키는 방향은 둘로 갈리기 때문입니다.

거짓 아니면 참 무조건 둘 중의 하나인데, 증거를 수집해보니 수집할 수록 갈팡질팡하네 따져보면, 참이라는 증거도 그럴싸하고, 거짓이라는 증거도 그럴싸한데 뭐를 어떻게 믿어야 하는거야?
참과 거짓은 논리적으로 양립할 수 없고, 둘 중의 하나는 반드시 틀린 건데, 이걸 어떻게 결정해야 하지?
개별적인 증거 단위로 믿고 안믿고를 떠나, 논리적이고 정랑적이고 수학적으로 이를 판별하는 방법은 없나?

참과 거짓을 구분하는 것은 일상생활에서 끝없이 많이 발생하는 일상적인 일들입니다. 회의시간에 늦은 부하직원이 아파서 늦었다고 얘기한 말이 뻥인지 사실인지를 구분하는 것부터, 살인 사건 현장에서 용의자 A가 범인인지 아닌지를 판정하는 것도 이런 케이스이고, 부정선거가 있었는지 없었는지를 판정하는 것도 이런 케이스입니다.

사람들은 어떤 사안들의 진위 여부를 판정하기 위해, 개벌적인 사안의 증거가 가리키는 내용들을 일일이 모두 따져서 100% 참 혹은 100% 거짓으로 반박하거나 입증하려고 합니다. 하지만, 이는 현실적으로 불가능합니다. 인간이 신이 아닌 이상, 모든 증거의 진위 여부를 정확하게 아는 것은 불가능하기 때문입니다.

그리고, 아무리 자신이 객관적이고 합리적이라고 생각하는 사람도 신이 아닌 이상 모든 증거에 대해 완벽하게 진실을 알지는 못합니다. 저도 마찬가지고 여러분도 반박이 불가할 거라 생각합니다. 설마 다른 사람은 아니라도 나는 세상에 존재하는 모든 사안에 대해 단 하나의 오류도 없이 완벽하게 진실을 알 수 있고 나의 최종 판정에는 오류가 없다고 생각하시지는 않으시겠죠? 그런 분들은 이 글을 읽으실 필요가 없으니 조용히 나가시면 되겠습니다.

그렇다면 이런 상황 속에서 진실을 찾아낼 수 있는 방법은 없을까요? 그렇지 않습니다. 지금부터 알려드릴 방법을 이용하면, 수많은 상충되는 정보의 노이즈 속에서 무엇이 진실이고 거짓인지를 수학적 확률로 정량적으로 추정할 수 있게 됩니다.

마치 제가 주식 투자에서, '무조건 간다' 내지는 '무조건 떨어진다'는 논리를 지양하고, 이런 조건하에서는 상승 확률이 몇 % 라는 식으로 얘기하는 것과 동일한 방법이 있습니다. 이 방법을 익히시면 여러분도 수많은 정보의 홍수와 노이즈, 어떤 것이 진실이고 어떤 것이 거짓인지 모르는 상황에서 갈팡질팡하지 않고, 수학적으로 높은 확률로 진실을 찾아낼 수 있게 됩니다.

그 방법이 무엇인지 궁금하신가요? 지금부터 살펴보겠습니다.

상충되는 증거 어떻게 해석할 것인가?

여기까지 이해하셨다면, 이성적이고 합리적인 관점에서 진실을 확인하는 방법이 기본적으로 어떤 것인지 개념을 잡으셨으리라 생각합니다. 그런데, 문제는 여기서 끝나지 않습니다. 왜냐하면, 어떤 사실을 검증하는 과정에서 여러가지 증거가 상충되는 경우도 상당히 많기 때문입니다.

이를 테면, A라는 목격자는 피고가 범인이 아니라고 주장하고, B라는 목격자는 범인이라고 주장하는 경우입니다. 이런 경우에는 어떻게 판정을 해야 할까요? 피고가 범인인 동시에 범인이 아닐 수는 없습니다. 이는 논리적 모순입니다.

그렇다면, 여러가지 증거가 서로 상충되거나 모순이 되는 경우에는 과연 어떤 방법을 통해 진실을 가릴 수 있을까요? 결론부터 말씀드리자면, 상충되는 증거가 공존할 경우, 보다 증거의 신뢰성이 높고 개수가 많은 쪽의 증거가 신뢰성이 떨어지거나 개수가 적은 쪽의 증거를 상쇄시키게 됩니다.

이 때, 진위의 확실성의 정도는 '수학적 혹은 경험적 확률'로 표현되며, 가설 검증과 동일한 방식으로 검증합니다. 이는 통계학에서 '베이즈 정리'로 잘 알려져 있습니다. 

베이즈 정리는 사후 확률을 통해 사전 사건의 확률을 추정하는 통계적 접근법입니다. 베이즈 정리를 이용하면, 어떤 동일한 사실의 진위 여부를 지지하는 여러 개의 상반된 증거가 있을 때 무엇이 진실에 가까운지 쉽게 수학적 확률로 추정할 수 있습니다.

 

 

베이즈 증거로 진실을 찾아내는 방법 

베이즈 정리에 의하면, 특정 증거의 신뢰도가 압도적으로 높을수록, 참 혹은 거짓임을 시사하는 증거의 개수가 반대 증거보다 압도적으로 많을수록, 그것을 진실로 추정할 수 있습니다. 이 말이 무슨 내용인지 쉬운 예제로 살펴보겠습니다.

예를 들어볼까요? 어떤 사람이 살인 혐의로 기소되었습니다. 법원에 10명의 증인이 소환되었습니다. 9명의 증인은 피고가 무죄임을 주장했고, 1명의 증인은 유죄임을 주장했습니다. 여러분이 판사라면 어떻게 판결을 내리시겠습니까?

무죄임을 증거한 9명의 증인은 대단히 진실하다고 평판이 난 사람들이어서, 이 사람들이 진실을 말할 가능성은 90%이고, 거짓을 말할 가능성은 10% 였다고 합시다. 반면 유죄를 주장한 나머지 한 사람은, 거짓말이 습관인 사람이기 때문에 진실을 말할 가능성과 거짓을 말할 가능성이 각각 50%라고 가정하겠습니다.

9명의 진실된 사람이 '무죄'임을 증거했고, 나머지 1사람은 '유죄'임을 증언한 이 상황에서, 실제로 이 피고가 유죄일 확률은 어떻게 될까요?

그 확률은, 다음과 같이 계산됩니다.

• 피고가 실제로 유죄일 확률 = 실제로 유죄여서 위와 같이 증언했을 확률 / (실제로는 무죄인데 위와 같이 증언했을 확률 + 실제로 유죄인데 위와 같이 증언했을 확률)

각 확률을 따로 계산해보겠습니다.

• 실제로는 무죄인데 위와 같이 증언했을 확률 = 9명 모두 진실을 말했고, 1명은 거짓을 말했을 확률 = 0.9^9 X (1-0.5)^1 = 0.193
• 실제로 유죄인데 10명이 위와 같이 증언했을 확률 = 9명이 모두 거짓을 말했고, 거짓말쟁이라고 생각했던 한 사람이 참을 말했을 확률 = (1-0.9)^9 X 0.5^1 = 0.0000000005 입니다.
• 피고가 실제로 유죄일 확률 = 0.0000000005 / (0.193000000 + 0.0000000005) = 0.0000000005

즉, 위 상황에서 피고가 유죄일 확률은 0.00000005%, 무죄일 확률은 99.99999995%로 계산됩니다.

따라서, 9명의 진실한 사람이 피고가 무죄임을 증거하고 신뢰하기 어려운 한 사람만이 거짓임을 증거할 경우, 비록 한 사람이 거짓임을 증거했을지라도, 절대 다수의 신빙성 있는 증거들은 그 사람이 유죄임을 강력하게 시사합니다.

따라서, 피고가 유죄일 가능성은 0.0000000005 / 0.1930000005 = 거의 0에 가깝습니다. 따라서, 9명이 무죄를 이야기 했고 1명이 무죄를 이야기 했으니, 피고가 무죄일 가능성은 90% 가 되는 것이 아니라, 그보다 훨씬 더 높은 거의 100%에 가깝게 되는 것이지요.

진실이 반드시 다수결로 결정되지는 않는다는 수학적 증거

반대의 경우는 어떨까요? 이제는 9명의 증인이 거짓말을 자주 해서 진실을 말할 가능성이 50%에 불과하지만, 한 사람은 진실을 말할 가능성이 99.999999999%라고 가정해보겠습니다. 이 때, 9명의 증인이 모두 유죄라고 주장하고, 1명의 진실된 증인은 무죄라고 주장하는 경우를 생각해봅시다.

무려 9명이 유죄라고 주장하고 1명만이 무죄임을 주장하지만, 9명의 발언은 대부분 신뢰도가 떨어지기 때문에 유죄로 믿기는 힘들 것이라고 생각할 수 있습니다. 실제로 계산해서 확인해봅시다.

• 피고가 실제로 유죄일 확률 = 실제로 유죄여서 위와 같이 증언했을 확률 / (실제로는 무죄인데 위와 같이 증언했을 확률 + 실제로 유죄인데 위와 같이 증언했을 확률)

각 확률을 따로 계산해보겠습니다.

• 실제로는 무죄인데 위와 같이 증언했을 확률 = 9명 모두 거짓을 말했고, 1명은 진실을 말했을 확률 = (1-0.5)^9 X 0.999999999^1 = 0.0019
• 실제로 유죄인데 10명이 위와 같이 증언했을 확률 = 9명이 모두 진실을 말했고, 진실하다고 생각했던 1사람이 거짓을 말한 경우 = 0.5^9 X (1-0.999999999)^1 = 0.000000000000001
• 피고가 실제로 유죄일 확률 = 0.000000000000001 / (0.0019 + 0.000000000000001) = 0.0000000000005

피고가 유죄일 확률은 0.00000000005% 로 계산됩니다. 즉, 9명의 거짓말쟁이들이 아무리 거짓 증언을 해서 조작을 시도해도 한 사람의 진실된 증언이 압도적으로 높은 신뢰도를 가진다면, 이 신뢰도 높은 증거 하나만으로 수많은 거짓 증거를 거뜬히 상쇄할 수 있습니다.

이러한 베이즈 정리를 어떤 사건의 진위여부를 판정하는 통계적 신뢰도의 개념으로 접근하면 얻을 수 있는 결론은 다음과 같습니다. 사실은 직관적으로 생각해도 너무나 당연한 내용입니다.

1. 어떤 사실을 지지하는 증거의 신뢰도가 동일하다면 개수가 많을수록, 그것이 참일 가능성이 높아진다. (1가지 증거만 존재하는 것보다는 10개, 100개 증거가 있을수록 참일 가능성이 높다.)
2. 신뢰도가 높은 증거는 신뢰도가 낮은 증거의 신뢰도를 거뜬히 상쇄시킬 수 있다.(거짓말쟁이들 100명이 맞다고 주장해도 믿을 만한 진실한 증언 하나가, 100명의 거짓말쟁이들의 증거를 기각시킬 수도 있다.)
3. 상충되는 증거들이 존재하는 경우, 진위 여부는 지지하는 증거의 상대적인 개수와 신뢰도의 종합적인 방향성에 의해 결정된다. 두 요소를 종합하여 계산된 수학적 확률 수치를 통해 진실, 혹은 거짓의 확률로 결정할 수 있다. 단순히 상대방의 주장과 상반되는 것을 지지하는 증거가 존재 자체는 아무런 근거로 작용하지 못한다.

난무하는 거짓 정보 속에서 진실을 찾아내는 법

세상에는 수많은 거짓 정보가 넘쳐나고 있습니다. 굳이 일일이 예를 들지 않아도 여러분도 잘 아실 것입니다. 모든 언론과 미디어는 객관적 진실만을 보도한다고 주장하지만, 현실은 시궁창이지요.

좌파는 좌파 나름 대로, 보수는 보수 나름대로 편향된 시각으로 보도를 합니다. 그렇기 때문에, 우리가 진짜 진실이 무엇인지 알기 위해서는 이런 증거의 단편이 어떤 방향을 가리키는지 단 한개의 증거로만 알 수 있는 방법은 전혀 존재하지 않으며, 수많은 증거들의 편린들이 가리키는 방향이 무엇인지, 개별적인 증거의 신뢰도를 확률로 추정한 후, 모든 증거가 가리키는 방향이 어느 쪽이고 그것이 참 혹은 거짓인 확률이 몇 %인지 정량적으로 추정하는 습관을 들여야 합니다.

이런 방법론을 탑재하지 못하면, 진실을 절대로 알 수 없게 됩니다.

증거에 기반을 둔 판정의 결과 (참 혹은 거짓) 은 모두 그 판정의 결과가 틀릴 오류의 확률을 내포하고 있습니다. 따라서, 수학적으로 이런 오류의 확률을 내재한 상황에서 이를 확률적으로 반영한 후, 모든 증거가 최종적으로 가리키는 확률을 통합적으로 계산해야만 무엇이 진실인지 알 수가 있습니다.

아마 이 글을 처음 보시는 분은 좀 충격을 받으셨을지도 모르겠습니다. 아마 여러분들 대부분은 수많은 증거가 있을 때 내가 나름대로 최선을 다해서 각 증거에 대한 결론을 참,거짓으로 내리고 모든 증거를 만장 일치로 한 방향으로 몰아서 진위를 판정하는데 익숙해져 있을 것이기 때문입니다. 모든 증거는 참과 거짓의 여부과 오류없이 합치시켜야 하는데, 사실 사람이 그 모든 진실을 알수는 없으니 어쩔 수 없이 전반적인 분위기를 보고 결론을 내린 후, 결론과 맞지 않는 증거는 아무런 근거 없이 억지로 기각 (가짜 뉴스야)하는 오류를 만들게 됩니다.

이는 배운 사람들 뿐만 아니라, 아주 똑똑하고 뛰어나신 분들에게서도 매우 흔히 발생하는 현상입니다. 베이즈 정리의 방법론은 사실 고등학교에서 배우는 조건부 확률입니다. 그리 어려운 개념도 아니고 고등학교를 평범한 수준으로 졸업한 사람이라면 누구나 이해할 수 있는 평범한 논리와 수학적 방법론이지만, 이 개념을 이해하면 올바른 판단을 내리는데 굉장히 큰 도움을 받게 됩니다.

여러분이 베이즈 정리를 통해 얻을 수 있는 교훈은 다음과 같습니다.

1. 여러분은 신이 아니기 때문에, 개별적인 증거에 대한 모든 사안의 진위 여부를 완벽하게, 오류없이 정확하게 절대로 맞출 수 없다. 이렇게 생각하는 것이 오히려 논리적 오류이다
2. 진실을 알기 위해서는 개별적인 증거의 신뢰도를 100% 참, 100% 거짓과 같이 절대로 이분법적으로 구분해서는 안되며, 반드시 내 생각이 틀렸을 오류의 가능성을 0.1% 라도 추가해야만 한다. 그렇지 않을 경우, 100% 진실 증거와 100% 거짓 증거가 공존하게 되어 결론이 논리적으로 결정되지 않는 오류가 발생하기 때문이다.
3. 수많은 상충되는 증거가 존재할 때, 진위 여부를 판정하기 위해서는 개별적인 증거의 신뢰도를 나름대로 논리와 경험에 근거하여 수치적으로 설정한 뒤 이를 종합적으로 계산하여 진위를 최종적으로 결정한다

안타깝게도 어떤 사건에 대한 신뢰도의 계산은 주사위를를 던져서 1이 나올 수학적 확률과 같이 정확하고 일관되게 결정할 수 있는 사안은 전혀 아닙니다. 무엇이 진실인지에 대해 결정하는 것에도 결국은 개인의 주관, 논리, 생각이 반영될 수 밖에 없기 때문에 주관적일 수 밖에 없다는 한계도 있습니다. 하지만, 최대한 객관적이고 정량적인 관점에서 확률을 추정하고, 이런 개별 증거들의 확률이 최종적으로 향하는 목적지를 편향없이 찾아본다면, 아무 논리와 근거도 없는 뇌피셜과 억지만으로 구성된 생떼보다는 진실을 정량적으로 추정하는데 훨씬 큰 도움을 얻을 수 있습니다.

 

베이즈 정리가 주는 교훈

다시 한 번 정리해보겠습니다. 베이즈 정리는 우리에게 다음과 같은 교훈을 줍니다

1. 어떤 사실을 지지하는 증거의 개수가 많을수록, 그것이 참일 가능성이 높아진다. (1가지 증거만 존재하는 것보다는 10개, 100개 증거가 있을수록 참일 가능성이 높다.)
2. 신뢰도가 높은 증거는 신뢰도가 낮은 증거의 신뢰도를 상쇄시킬 수 있다.(거짓말쟁이들 100명이 맞다고 주장해도 믿을 만한 진실한 증언 하나가, 100명의 거짓말쟁이들의 증거를 기각시킬 수도 있다.)
3. 상충되는 증거들이 존재하는 경우, 진위 여부는 지지하는 증거의 상대적인 개수와 신뢰도에 의해 결정된다. 두 요소를 종합하여 계산된 수학적 확률 수치를 통해 진실, 혹은 거짓으로 결정할 수 있다. 단순히 상대방의 주장과 상반되는 것을 지지하는 증거가 존재 자체는 아무런 근거로 작용하지 못한다.

상충되는 증거로 뭐가 진실인지 골치가 아프시다면, 베이즈 정리에 입각해서 접근해보시길 권해드립니다. 개별적인 증거를 판정할 때는 내 생각은 100% 옳고, 어떤 것은 100% 틀리다라고 결정하는 것이 심각한 논리적 오류라는 것을 깨닫고, 특정 증거에 대한 신뢰도는 0초과 100미만의 논리적 확률로 추정해보시기 바랍니다. 이런 방법론을 탑재하시면 무엇이 진실인지 훨씬 더 편견없이 바라보게 될 것입니다.

'신원이 확인되지 않은 미상의 정보통에 의하면 A군이 살인을 저지른 것으로 추정된다'

'정황증거로 볼 때 이런 현상이 발생할 가능성은 그다지 높아보이지 않으므로 거짓일 것이다'

라는 주장과

'A군이 살인을 저지르는 현장이 2025년 1월 13일, 서울시 양천구 목동 ~ 공원 주차장 CCTV에 찍혔고, 현장 감식에서 혈흔이 일치하는 결과로 나왔다'

는 주장의 증거의 신뢰성을 추정해보시기 바랍니다.

베이즈 정리의 원리를 이해하셨다면, 지금까지 수많은 미디어에서 마치 사실인 것처럼 떠드는 수많은 카더라, 썰들의 신뢰성은 아무리 높아도 50%를 넘길 수 없으므로 조건부 확률의 공식에 의해 참 혹은 거짓의 향방에 영향을 주는 구실을 절대 담당할 수 없습니다. 그 썰 들이 10가 아니 100개 아니 1000개라도, 신뢰성 있는 증거 하나의 가치가 모든 것을 상쇄시켜버린다는 얘기입니다.

개별 증거에 대해 100% 참 혹은 100% 거짓과 같이이 이분법적인 결론을 내리는 것은, 최종 결론을 내리기 전까지는 반드시 지양해야 할 '심각한 논리적 오류' 입니다. 이건 진짜 확실하기 때문에 참이라는 결론을 개별 증거 단위에서 내리면, 다른 증거들의 진위 여부를 판정하는 과정에서 반드시 논리적 오류가 발생하기 때문입니다. 왜냐하면, 반대 방향을 증거하는 매우 신뢰성 있는 증거들도 얼마든지 존재할 수 있기 때문이지요.

이런 부분을 냉정하게 미리 고려하지 않는다면, 자신이 매우 이성적이고 합리적인 판단을 한다고 생각하지만 이미 먼저 100% 참이라고 설정한 결과를 철회하지 못하는 이유 때문에 반대 방향의 신뢰성 높은 증거들을, 이유 없이 감정적으로 강제로 기각하는 오류를 범하면서도 깨닫지 못하게 되기 때문이지요.

이제 색안경을 벗어버리고, 베이즈 정리의 관점에서 여러분이 판단했던 증거들을 다시 한 번 리뷰해보시지요. 내가 0%와 100%를 판정할 수 있다는 근자감은, 신이 아닌데 신의 능력을 가질 수 있다고 착각하는 것이기 때문에 논리적 오류를 내포하고 있기 때문에 틀렸습니다. 

내 생각에 아닐 것 같다고 생각하는 반대 증거들, 내 결론을 송두리째 뽑아 버릴 정도로 확실해서 인정하기 두려운 증거들을 이유없이 강제로 기각하지 마시고, 그런 증거들이 나의 선입견을 박살내는 것이라면, 내 주관을 박살내는 것을 두려워하지 마시고 진실의 확률을 인정해보시고, 최종적인 결론을 찾아보시기 바랍니다. 

베이즈 정리는 우리에게 모든 증거는 절대로 동일하거나 균일한 수준의 신뢰도를 가지고 있지 않다는 교훈을 줍니다. 다른 말로 설명하자면 진리는 다수결이 아니라는 얘기입니다. 이게 굉장히 중요한 내용입니다. 많은 사람들은 무의식적으로 단순히 증거의 개수가 많으면 그것이 가리키는 방향이 옳다고 생각하지만 결코 그렇지 않습니다. 진리는 절대 다수결이 아닙니다.

단순한 가설이 아닌 물증일수록, 간접적인 추정이 아닌 직접적인 증거일수록 신뢰성이 높다는 것을 시사하며, 이런 신뢰도 높은 증거가 부정확하고 불완전한 가짜 증거들 수백 수천개를 한 번에 기각시킬 수 있음을 알려줍니다.

따라서, 여러분들이 무엇이 진실이고 거짓인지 찾아내기 힘들어 헷갈리신다면, 

 

어떤 증거가 더 직접적 vs 간접적

어떤 증거가 더 물증 vs 심증 (정황증거)

어떤 증거가 더 객관적 증거 vs 단순한 추정이나 가설

 

인지 여부를 구분하셔서 증거의 신뢰도를 정량적으로 분석해보시기 바랍니다. 간접적, 심증, 정황증거, 가설과 같은 것들은 신뢰도가 떨어지는 것들이므로 확률적 신뢰도에 페널티를 주시고, 직접적이고 물증이고, 객관적 증거 같은 요인이라면 플러스 점수를 주시고 계산해보시기 바랍니다

증거는 결코 동일한 수준의 신뢰도를 가지지 않습니다. 이런 방법론을 익히시면 아무리 허접스럽고 말이 안되는 가짜 뉴스가 수백 수천개나 난무해도 흔들리지 않고 진실을 바라볼 수 있게 됩니다. 

 

나의 이성의 불완전함과 틀릴 수 있다는 가정을 인정하고 통합적인 증거가 가리키는 방향을 찾아낼 때 비로소 진실을 발견할 수 있게 됩니다.

 

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